DEA Structure et Evolution de la Lithosphère
Structure et dynamique interne de la Terre
Résumé du cours 2004-2005(en cours de construction
23/09/04)
Philippe MACHETEL
1. La Terre Moyenne
1.1 Historique sommaire
1.1.1 A la recherche de la forme et de la masse de la Terre
L'intérieur de la Terre a longtemps été
complètement inaccessible à l'homme dont les croyances en
ont longtemps fait le repaire des dieux, des génies et des
enfers. Cet historique ne se
veut pas exhaustif mais apporter quelques éclaicissement sur des
points fondamentaux.
Le premier calcul du rayon de la Terre pourait être due à
Euxode,
contemporain de Pythéas, en mesurant la différence
d'élévation d'une étoile visible le lolng d'un
méridien. Il estime la circonférence terrestre à
environ 80 000 km. Le rayon terrestre a été obtenu par
Eratosthène en 230 avant J.C. qui réexamine les
conclusions
d'Anaxagore
sur la mesure de l'ombre portée par un obélisque à
Alexandrie le jour du solstice de printemps alors que l'ombre d'un puit
vertical était nulle à Syène (Syrie). En
introduisant l'hypothèse de sphéricité de la
Terre, il
calcul sa circonférence à 40000 km environ (Fig. 1).
Fig.1. Principe du calcul du rayon terrestre par mesure
simultanée des différences de longueur d'ombre.
Application numérique : a = 7° 12', d=5000 stades (1 stade
est de l'ordre de 165 m à 177 m)
En 1798 Lors Cavendish propose une expérience qui permet de
mesurer la masse de la Terre. Avec
une balance à torsion, il mesure la très faible
interaction entre deux sphères de masses différentes et
en déduit la valeur de la constante universelle de la
gravatation G. Il est dès lors possible, à partir de
la valeur de l'accélération de la gravité de
calculer la masse de la Terre. Il conclue à
densité moyenne de 5,48 kg/m3 très différente de
celle des roches de surface et a une nécessaire augmentation de
la densité avec la profondeur.
Fig.2 La
balance à torsion de Lord Cavendish
En 1672 Richer, en mission à Cayenne observe, que la
longueur du pendule battant la seconde est plus courte
d'une ligne un quart (2,7 mm) ce qui implique une diminution de la
pesanteur et laisse penser que Cayenne est
plus loin du centre de la Terre que Paris.
Cette différence lance un grand débat scientifique sur la
forme de la Terre:
Cassini,
Descartes
et Fontenelle
soutiennent que la Terre est allongée aux pôles
Maupertuis,
Huygens et Newton estiment que la force centrifuge et l'attraction
produisent un renflement à l'équateur.
En 1687 Newton a proposé que la Terre ait la forme d'un
ellipsoïde d'aplatissement 1/230.
En 1735 débat pour savoir si la Terre est aplatie dans le sens
équatorial ou méridien. Deux expéditions sont
envoyées l'une en Laponie (sous la direction de Clairault et
Maupertuis) et l'autre au Pérou (dirigée par P. Bouguer
et Charles La Condamine) qui confirment l'aplatissement de la Terre
selon l'axe des pôles.
1.1.2 La Terre au XIXeme siècle
1.1.3 Naissance d'une nouvelle discipline : la sismologie
1.2 La Terre Moyenne
1.2.1 Equation de propagation des ondes - ondes P et ondes S
L'équation fondamentale de la dynamique, appliquée au
vecteur déplacement u dans le milieu donne :
(eq. 1.2.1-1)
où rho est la densité, f représente les forces
extérieures (qui peuvent servir à modéliser la
source) et sigma(ij) le
tenseur des contraintes dont il faut calculer la divergence. Il s'agit
d'une
équation vectorielle dont chaque composante doit être
vérifiée (rappel la divergence d'un tenseur est un
vecteur). En toute rigueur, il conviendrait d'exprimer les grandeurs en
fonction de coordonnées
covariantes et contravariantes. Elles sont confondues dans le
système des coordonnées cartésiennes dans lequel
nous resterons pour la simplification de l'exposé de la
démarche.
La loi de Hooke relie le tenseur des contraintes au tenseur des
déformations epsilon(ij) par un tenseur du troisième
ordre: le tenseur des constantes élastiques C(ijkl) (81
composantes).
(eq. 1.2.1-2)
Il est à noter que selon la notation classique en calcul
tensoriel la présence répétée d'un indice
signifie qu'il est sommé sur ses trois composantes. L'equation
précédente doit donc se lire :
(eq. 1.2.1-3)
Par le biais des symétries et de l'isotropie dans le milieu
traversé
par les ondes (cette hypothèse est une bonne approximation mais
n'est pas complètement vérifiée dans la nature),
il est possible de ramener à deux constantes lambda et mu les
propriétés d'un milieu homogène. Ces deux
coefficients, appelés coefficients de Lamé avaient
déjà été décrits par Navier
et Cauchy
en 1823. La relation contrainte déformation devient alors,
où delta(ij) est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i=j et 0
sinon.
(eq. 1.2.1-4)
Mu apparait comme une mesure de la résistance du milieu au
cisaillement (mu = 0 pour les fluides) et lambda un e grandeur
caractéristique de la
compressiblité. Les
coefficients
de Lamé peuvent s'exprimer comme combinaisons des modules
élastiques
connus (module de Young, coefficient de Poisson).
Par ailleurs, une relation classique de mécanique du solide
relie
la déformation epsilon(ij) au déplacement u dans le corps
(eq. 1.2.1-5)
Alors sigma peut s'exprimer comme :
(eq. 1.2.1-6)
On peut en déduire la valeur de la divergence du tenseur des
contraintes selon la composante j par exemple:
(eq. 1.2.1-7)
Et, réintroduire ce resultat dans l'équation 1qui peut
s'écrire, en considérant que la
force f est nulle (en se
plaçant en dehors de la source):
(eq. 1.2.1-8)
Nous utiliserons ensuite les formules d'analyse vectorielle
classiques qui établissent que Laplacien vecteur (A) = grad(div
(A)) - rot(rot (A)), puis que div(rot(A)) = 0, et enfin que
rot(grad(a)) = 0.
Le déplacement u est exprimé comme dérivant d'un
potentiel scalaire (phi) et d'un potentiel vecteur psi.
(eq. 1.2.1-9)
En substituant cette expression dans l'équation 8, celle-ci
devient :
(eq. 1.2.1-10)
Où le symbole deux points signifie une dérivée
deuxième par rapport au temps. Compte tenu de
l'indépendance des variable phi et psi, cette équation ne
peut être vérifiée en permanence que si
(eq. 1.2.1-11)
et si
(eq. 1.2.1-12)
où alpha est la vitesse de propagation des ondes de compression
(ondes P) et beta la vitesse de propagation des ondes de cisaillement.
De ce résultat, il est clair que la vitesse des ondes P sera
supérieure à celle des ondes S. La séparation,
l'existence et la nature des ondes P et S est imposée par le
comportement élastique d'un milieu homogène isotrope.
1.2.2 Nomenclature des ondes - hodochrones
1.2.3 Le modèle PREM
1.2.4 Le modèle minéralogique
1.2.5 Les modèles de composition
1.2.6 La couche D"
1.3 Bilan thermique et énergétique de la Terre Moyenne
1.3.1 Les sources d'énergie disponibles
1.3.2 Température en fonction de la profondeur
2.Convection dans le manteau
3. Evolution thermique du noyau
3.1 Contexte
Le refroidissement du noyau se traduit par des anomalies de
densité qui produise de la convection qui est à l'origine
du champ magnétique.
La description de ces processus est théoriquement possible au
travers des processus thermodynamiques, des principes de conservation
de l'énergie, de l'équation de l'entropie du noyau
externe.
Les principales sources d'énergies présente dans le noyau
sont :
- La dissipation ohmique liée au courants
électriques
- L'énergie thermique accumulée lors
de l'accrétion de la planète
- La chaleur latente de cristallisation de la graine
- l'énergie gravitationnelle
libérée par la concentration de matériau plus dense
L'équation d'entropie permettra de calculer un taux de
croissance de la graine et un taux de refroidissement du noyau a
partir de la dissipation de chaleur
L'équation d'énergie globale permettra de calculer un
flux de chaleur qui sort du noyau et un flux nécessaire pour
maintenir la disspation
Le problème des études concernant le noyau reste le peu
de contraintes dans les observables géophysiques. Ainsi, la
disspation ohmique est mal connue, les données
paléomagnétiques sont délicates à
interpréter en terme de disspation. La partie toroidale du champ
magnétique dans le noyau n'est pas connue.
Le paradoxe du noyau :
La cristallisation de la graine entraine une augmentation du taux des
éléments légers dans le noyau liquide ce qui
provoque une augmentation de l'efficacité convective liée
à la composition alors que dans le passé seule la
convection thermique agissait (avant le début de cristallisation
de la graine). Pour garder la même efficacité convective
totale, le flux de chaleur à la CMB devait être beaucoup
plus fort ou la dissipation devait être beaucoup plus faible.
L'âge d'apparition de la graine sera donc contrôlé
par le flux de chaleur à la CMB mais la nécessité
de maintenir une disspation ohmique (liée à l'existence
de courant et d'un champ magnétique) va imposer des limites
à ce flux de chaleur...
3.2 Les relations thermodynamiques
3.2.1 L'état de référence du noyau
La convection dans le manteau terrestre va influencer le comportement
thermique du noyau principalement par les échanges de chaleur au
niveau de la CMB. Les constantes de temps d'évolution de la
convection dans le manteau sont de l'ordre de plusieurs dizaines de
millions d'années et il sera possible de considérer
que la réaction du noyau sera moyennée.
Les pricipales hypothèses sont que le noyau sera soumis à
un gradient de pression hydrostatique
(eq. 3.2.1-1)
ou rho est la densité et g
l'accélération de la gravité
L'alliage composant le noyau externe sera homogène (ce qui
équivaut à un gradient de composition nul)
(eq. 3.2.1-2)
ou xsi est la fraction massique d'élément
léger;
et la température radiale sera alignée sur le gradient
adiabatique ( ce qui équivaut à faire l'hypothèse
d'une convection très vigoureusedans le noyau externe).
(eq. 3.2.1-3)
ou alpha est le coefficient de dilatation thermique et Cp la
chaleur spécifique par unité de masse.
Pour définir complétement un état de
référence, il faut une équation d’état qui
relie la densité aux conditions physiques de pression et de
température. Cependant, à la différence de
l’équation d’état locale de la convection dans le manteau
décrite dans le paragraphe précédent et qui
s’intéressait aux variations locales de densité dues aux
anomalies locales de température, de pression et de phase, on se
s’interessera ici qu’à la variation moyenne de la
densité en fonction de la pression. La variation liée
à la variation moyenne de température adiabatique est
prise en compte par l’hypothèse de comportement de
température adiabatique.
(eq. 3.2.1-4)
Ou rho indice o est la densité de surface (à pression
nulle) et K indice o la compressibilité de surface. De plus, la
valeur radiale de l'accélération de la
gravité g est donnée par:
(eq. 3.2.1-5)
L'état de référence défini par ces
hypothèses n'a pas d'expression analytique simple. En
combinant l'équation d'état (...1-4) et la
condition de gradient de pression (....1-1) il est possible
d'éliminer la pression et de calculer la densité rho en
fonction de la gravité. pour cela il faut dériver
(...1-4) par rapport à la variable position radiale, r et
séparer les variable de la nouvelle équation,
après avoir remplacer le gradient de pression par son expression
(...1-1).
(eq. 3.2.1-6)
(eq. 3.2.1-7)
Soit en intégrant l'équation (...1-7) de chaque
coté, depuis le centre de la Terre, que l'on supposera
affecté d'une densité rho indice c, et la position
radiale r :
(eq. 3.2.1-8)
Après changement de variable, intégration et après
avoir pris l'exponentielle des deux membres de l'équation
(...1-8), il vient :
(eq. 3.2.1-9)
Pour connaitre définitivement le profil de densité, il
faut utiliser l'expression de la gravité g que l'on sait
dépendre de la densité. Pour sortir de ce problème
on va utiliser un développement limité de la
gravité sour la forme:
(eq. 3.2.1-10)
où l'on retrouve en terme principal le champ de gravité
proportionnel au rayon qui serait le résultat de
l'équation (...1-5) si la densité était constante
et égale à celle rho indice c du centre de la Terre, et
des termes correctifs en puissance de r/a qui sont petits devant 1. En
utilisant le terme principal de développement
limité dans (...1-9), il vient :
(eq. 3.2.1-11)
Ce développement limité est précis au
troisième ordre. L peut être calculé en fonction
des valeurs physiques des paramètres qui le compose:
L=7400 km +/- 150 km. Il suffit maintenant de l'utiliser dans l'eq.
(...1-5) pour obtenir le calcul de la gravité g. On trouve alors
:
(eq. 3.2.1-12)
On connait maintenant des expressions pour l densité et pour la
gravité qui permettent d'obtenir un bon accord avec le
modèle PREM dans le noyau externe (en ajoutant le delta rho de
densité au niveau de l'Inner Core Boundary- ICB).La connaissance
de g et de rho permet de calculer immédiatement la gradient de
pression par l'équation (...1-1). Les paramètres de
densité, de gravité et de pression de l'état de
référence nous sont maintenu connus par un
développement limité en fonction de la position radiale.
Il reste à calculer l'état de référence
pour la température à partir de l'équation
(...1-3). A tout moment la température de
référence sera calculée par rapport à la
température au niveau de l'ICB. puisque c'est là que les
expérimentations à haute pression et les études
minéralogiques nous permettront de placer une contrainte sur la
température à l'intérieur de la Terre. Le rayon de
la graine, c, sera variable au cours du temps et sera donc écrit
c(t). Sa température de solidification sera appelée
Ts(c(t)) elle servira de point de départ pour calculer la
température adiabatique selon l'équation (...1-3). Pour
cela, il suffit de séparer les variables de l'équation,
d'intégrer les deux membres entre la température de
départ (Ts(c(t)) et la température recherchée
(Tad(r,t) et de prendre l'exponentielle des deux cotés:
(eq. 3.2.1-13)
(eq. 3.2.1-14)
(eq. 3.2.1-15)
En considérant que le rapport alpha/Cp est constant et en
utilisant le résultat de l'équation (...1-12) il est
possible de calculer l'expression de l'intégral du
côté droit de l'équation (...1-15) qui devient:
(eq. 3.2.1-16)
Par ailleurs, les études minéralogique à hautre
pression permettent de caler l'expression théorique de la
température de fusion donnée par la loi de Lindeman qui a
pour expression:
(eq. 3.2.1-17)
où gamma est la paramètre de Gruneissen qui est une
grandeur physique caractéristique du matériau.
Voila.... Nous sommes au bout du calcul de l'état de
référence dans le noyau. Maintenant, à partir des
expressions mentionnées ci-dessus et de quelques valeurs connues
comme la densité au centre rho indice c, la densité du
fer à pression nulle rho indice o, les paramètres
physiques du fer, compressibilité, dilatation, gruneisen etc
.... vous pouvez calculer la température, la densité, le
champ de gravité et la pression en fonction de la position
radiale....
3.2.2 Bilan d'énergie - bilan d'entropie
Le but est de relier la croissance de la graine, qui sera
caractérisée par la vitesse de l'accroissement de son
rayon, dc/dt, aux observables géophysiques.
Pour cela on va exprimer le bilan de la chaleur qui sort du noyau au
travers de la CMB. L'équation de base sera :
(eq. 3.2.2-1)
où Qcmb sera la perte de chaleur du noyau, Qc la chaleur de
refroidissement , Ql la chaleur latente de cristallisation de la graine
dont le rayon croît, E indice chi l'énergie
gravitationnelle due a la concentration de masse plus dense vers le
centre lors de la cristallisation et Qr un chauffage radioactif
présent dans le noyau.
La croissance de la graine sera d'autant plus forte que la chaleur sera
extraite du noyau. On va donc chercher à exprimer ces
quantités Qx sous la forme du produit d'une fonction Px par le
taux de croissance de la graine dc/dt:
(eq. 3.2.2-2)
Pour la chaleur latente Ql, elle est directement proportionnelle
à l'augmentation de volume de la graine. On aura donc :
(eq. 3.2.2-3)
où delta S est l'entropie de fusion
Pour le terme de refroidissement. Le refroidissement va correspondre
à un abaissement de la température dans tout le volume du
noyau mais celle-ci reste adiabatique. Comme le gradient adiabatique
est calé sur la température de cristallisation au niveau
de l'ICB, il est automatiquement couplé à la croissance
de la graine.
(eq.3.2.2-4)
En remplaçant la température adiabatique dans cette
expression par sa valeur obtenue (eq 3.2.1-16) et (eq (eq. 3.2.1-17) il
vient :
(eq. 3.2.2-5)
avec:
(eq. 3.2.2-6)
L'énergie gravitationnelle est liée